Intersection de deux plans - Corrigé

Énoncé

  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$ , on considère le plan  $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $4x+14y+3z=33$ .

Soit $\text{M}(x;y;z)$ un point à coordonnées entières appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d'équation $z=5$ .

1. Montrer que  $(x;y)$ est solution de $(E):2x+7y=9$ .

2. Résoudre l'équation  $(E)$ dans ${\mathbb{Z}}^2$ .

3. Montrer qu'il existe un unique point appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d'équation $z=5$ , et dont les coordonnées sont des entiers naturels, puis déterminer les coordonnées de ce point.

Solution

1. Comme le point $\text{M}$ appartient au plan d'équation $z=5$ , on sait que les coordonnées de $\text{M}$ sont $\text{M}(x;y;5)$ . De plus, le point $\text{M}$ appartient au plan $\mathcal{P}$ , donc
$\begin{array}{rl}4x_{\text{M}}+14y_{\text{M}}+3z_{\text{M}}=33& ⟺4x+14y+3\times 5=33\\ & ⟺4x+14y=33-15=18\\ & ⟺2x+7y=9\end{array}$  

et on a donc bien $2x+7y=9$ .

2. 

• On applique l'algorithme d'Euclide pour $7$ et $2$ :
  $\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 7& 2& 3& 1\\ 2& 1& 2& 0\\ \hline\end{array}\begin{array}{l}\\ \times 1\\ \end{array}\end{array}$  
  On a donc $\mathrm{PGCD}(2;7)=1$ , et comme $1$ divise $9$ , l'équation $(E)$ admet des solutions.
  
• D'après l'algorithme d'Euclide, on a
  $\begin{array}{rl}7=2\times 3+1& ⟺2\times (-3)+7\times 1=1\\ & ⟺2\times (-27)+7\times 9=9\end{array}$  
  donc $(x_0;y_0)=(-27;9)$ est une solution particulière de $(E)$ .
  
• Soit $(x;y)$ une solution de $(E)$ .
  On a  $\begin{array}{rl}2x+7y=2\times (-27)+7\times 9& ⟺2(x+27)=7(9-y)\end{array}$ .
  On en déduit que $2$ divise $7(9-y)$ .
  Or $\mathrm{PGCD}(2;7)=1$ , donc d'après le théorème de Gauss, $2$ divise $9-y$ , c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que  $\begin{array}{r}9-y=2k⟺y=9-2k\end{array}$ .
  On a alors
  $\begin{array}{rl}2(x+27)=7(9-y)& ⟺2(x+27)=7\times 2k\\ & ⟺x+27=7k\\ & ⟺x=7k-27.\end{array}$    
  Ainsi, les solutions de $(E)$ sont des couples de la forme $(x;y)=(7k-27;9-2k)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .
  
• Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$ quelconque et $(x;y)=(7k-27;9-2k)$ .
  On a  $\begin{array}{rl}2x+7y& =2(7k-27)+7(9-2k)=2\times (-27)+7\times 9=9\end{array}$  donc $(x;y)$ est solution de $(E)$ .
  
• En conclusion, les solutions de $(E)$ sont données par $S=\{(7k-27;9-2k):k\in \mathbb{Z}\}$ .
  

3. D'après la question 2, il existe une infinité de points appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d'équation $z=5$ , et dont les coordonnées appartiennent à $\mathbb{Z}$ . Si l'on ajoute la condition que les coordonnées soient positives, on doit avoir d'une part :
$\begin{array}{rl}7k-27⩾0& ⟺7k⩾27⟺k⩾\frac{27}{7}\approx 3,9\end{array}$  donc $k⩾4$ ;
et d'autre part :
$\begin{array}{rl}9-2k⩾0& ⟺-2k⩾-9⟺k⩽\frac{-9}{-2}=4,5\end{array}$  donc $k⩽4$ .

Il y a donc un seul point à coordonnées entières naturelles appartenant au plan $\mathcal{P}$ et au plan d'équation $z=5$ .

Ses coordonnées sont obtenues pour $k=4$ : il s'agit du point $\text{M}(1;1;5)$ .